Хитрый синус [1]

Известно, что ряд Тейлора для синуса:

\(sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)

сходится для всех значений \(x\). При этом, т.к. ряд знакопеременный, погрешность вычисления суммы ряда не превосходит первого отброшенного слагаемого. Теоретически можно использовать эту формулу и критерий остановки для расчета синуса с высокой точностью при любых значениях \(x\). Так ли это?

Задания

• Напишите функцию вычисляющую сумму ряда с тчностью до \(10^{-18}\).
• Проверьте ее работу для \(x=\pi/6\).
• Для какого максимального \(n\), такого что \(x=\pi/6+2\pi*n\), функция работает правильно?
• Постройте график логарифма погрешности вычислений от \(n\).
• Почему правильная математическая формула дает при вычислении неверный результат?

Подсказки

• Фрагмент кода может выглядеть так

  def my_sin(x,err=1e-18):
      """ функция вычисления синуса как сумму ряда с заданной точностью
      """
      k = 1
      a = x
      sum = a
      while abs(a) > err:
  #       a =   			# добавьте вычисление элемента ряда
          k += 2
          sum +=a
      return sum
  

• Проанализируйте значение максимального эемента ряда для разных \(n\).

• Постройте график зависимости \(log(NumericalError)\) от \(log(a_{max})\).

Решение

[1]	Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные метода и программирование на фортране. М:Мир 1977, 584с.