Плохой интеграл

Интеграл \(\int_0^\infty \frac{sin(x)}{\sqrt{x}}dx\) можно вычислить аналитически и он равен равен \(\sqrt{ \frac{\pi}{2} }\). На сколько точно можно найти подобные интегралы численно?

Задания

• Напишите функцию вычисляющую определенный интеграл. Предусмотрите входные параметры, изменяющие точность разбиения \(dx\) и верхний предел интегрирования \(b\).
• Проверьте работу алгоритма интегрирования для нескольких известных функций.
• Изменяя параметры, определяющие точность, постарайтесь найти интеграла из задания.
• Какую точность вам удалось получить?
• Повторяя вычисления для разных параметров и фиксируйте время выполнения программы и точность вычислений.
• Оцените время, которое потребуется для вычисления требуемого интеграла с точностью \(10^{-6}\).

Подсказки

• Фрагмент кода может выглядеть так

  def integrate(fun,a=0.,b=1.,N=100,dx=0.):
      """ функция вычисления интеграла от 'fun'
          в пределах от 'a' до 'b' методом Симпсона
          dx - величина шага (если 0, то берем число точек разбиения - 'N')
      """
      if dx > 0:                  #
          N = int((b-a)/dx)       # число интервалов разбиения
      if N%2 <>0:
          N+=1                    # N должно быть четным
      dx = (b-a)/N
      cf = 0
      sum = - fun(a) - fun(b)     # коррекция первого и последнего коэфф.
      for i in xrange(N+1):
          if cf == 2:             # чередование коэффициентов
              cf = 4
          else:
             cf = 2
          sum += fun(a+dx*i)*cf   # суммирование
      sum *= dx/3                 # коэффициент
      return sum
  

• Выбирите шаг интегрирования \(\pi/(2k)\) (\(k\) - натуральное), и верхний предел пропорциональным \(2\pi\).

• Проанализируйте зависимость полученного значения от \(1/b\) (постройте график)

• Проанализируйте зависимость полученного значения от \(dx\) (постройте график)

• Уточните решение используя результаты проведенного анализа

Прямое решение

Решение с шагом пропорциональным периоду