Задания

  • Задача 1 (Карпов А.)

Решите эллиптическое уравнение \(U_{xx} + U_{yy}=0\), используя соотношения:

\[U_{xx}(x_0,y_0) = \frac{U(x_0-h, y_0) - 2 U(x_0, y_0) + U(x_0+h, y_0)}{h^2}\]
\[U_{yy}(x_0,y_0) = \frac{U(x_0, y_0-k) - 2 U(x_0, y_0) + U(x_0, y_0+k)}{k^2}\]

Граничные условия и размер сетки изображены на рисунке. Итерации производить до тех пор, пока разности между последовательными значениями не будут 0,001.

../_images/ris1.png
  • Задача 2 (Чалов Д.)

Дана проводящая рамка 10 х 10 см, имеющая потенциал 10 В. В центре рамки расположен проводящий заземленный (потенциал 0 В) равносторонний треугольник со стороной а = 3 см.

  • Найти потенциал поля в каждой точке области, ограниченной рамкой. Для этого решить уравнение Лапласа на сетке 200 x 200. Итерации производить до тех пор пока разности между последовательными значениями не будут меньше \(10^{-6}\).
  • Рассчитать плотность зарядов на рамке.
  • Построить графики.
  • Задача 3 (Абрамова А.)

Внутри квадратной проводящей рамки со стороной а = 1 м находится заряженный до потенциала 15 В проводник в виде диска с радиусом r = 1 см.

  • Найти потенциал поля в каждой точке области, ограниченной рамкой. Для этого решить уравнение Лапласа на сетке 400 x 400. Итерации производить до тех пор пока разности между последовательными значениями не будут меньше \(10^{-6}\).
  • Рассчитать плотность зарядов на рамке.
  • Построить графики.
  • Задача 4 (Чупин И.)

Решите параболическое уравнение \(U_{xx} = U_t\) на отрезке \(x = [0, 1]\) для \(t_{max} = 200\).

Граничные условия: \(U(x = 0) = 100\), \(U(x = 1)=200\).

Начальные условия: \(U(x, t = 0)=100(1 - 2x)\), для \(x < 0.5\), \(U(x, t = 0)=200(2x - 1)\), для \(x > 0.5\).

  • Для решения выбрать сетку по x, содержащую 100 узлов. Шаг по t подберите самостоятельно.
  • Выполните решение явным и неявным методами. Сравните результаты.
  • Задача 5 (Белов К.)

Решите параболическое уравнение \(U_{xx} = U_t\) на отрезке \(x = [0, 1]\) для \(t_{max} = 200\).

Начальные условия выберите в виде \(U(x, t = 0) = sin(2\pi x)\).

Граничные условия \(U_x(x = 0) = 0\), \(U_x (x = 1) = 0\).

  • Для решения выбрать сетку по x, содержащую 100 узлов. Шаг по t подберите самостоятельно.
  • Выполните решение явным и неявным методами. Сравните результаты.
  • Задача 6 (Гавриляк А.)

Решите волновое уравнение: \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(v \frac{\partial u}{\partial x}\right)\) на отрезке \(x = [-1, 1]\) для начального распределения \(u(x, t=0) = cos^2(5\pi x)\) для \(x = [-0.1, 0.1]\), и \(u = 0\) для остальных х. Для решения выбрать сетку по x, содержащую 200 (или 201) узлов. Шаг по t подберите самостоятельно. Считайте, что \(u(x = -1) = u(x = 1) = 0\).

  • Решить уравнение для постоянной скорости распространения волны \(v = 0.04\) и \(t_{max} = 100\).
  • Решить уравнение для волны с \(v = 0.04|x|^{0.5}\) и \(t_{max} = 150\).