Лиейные динамические системы

Для изучения линейных динамических систем используется метод решения, отличный от прямых численных методов решения ДУЧП. Он заключается в поиске решения через разложение по собственным функциям соответствующего линейного дифференциального оператора. Сначала найдем собственные функциии \(v_k(x)\) и собственные значения \(\lambda\) соответствующего линейного оператора: \(\lambda_k v_k(x) = - \partial^2_x v(x) + V(x)*v_k(x)\).

Раскладываем начальные условия по собственным функциям: \(u_0(x)=\sum_k c_k v_k(x)\) и запишем явное аналитическое решение, в котором зависимость от времени заложена в коэффициенты разложения: \(u(x,t)=\sum_k c_k(t) v_k(x)\). Коэффициенты разложения зависят от времени, как \(e^{-\lambda t}\) или \(e^{-i \lambda t}\) в зависимости от типа уравнения.

Известны собственные функции для волнового уравнения: \(c_k(t)=c_k cos(\sqrt{\lambda_k}t)+ d_k sin(\sqrt{\lambda_k}t)/\sqrt{\lambda_k}\), для уравнения теплопроводности: \(c_k(t)=c_k exp(-\sqrt{\lambda_k}t)\), и уравнения Шредингера: \(c_k(t)=c_k exp(-i\sqrt{\lambda_k}t)\).

Достоинства указанного метода несомненны: в результате получается решение для любого момента времени, ошибка при этом не увеличивается при увеличении t. К сожалению поиск или построение собственных функций линейных дифференциальных операторов для трехмерных задач со сложной границей является отдельной задачей, не имеющей простого решения.

Кроме геометрических трудностей, связанных с формой границы, возникают трудности из-за того, что спектр дифференциального оператора обычно непрерывный, и из-за того, что задача часто ставится на бесконечном интервале. При вычислениях же приходится ограничиться конечным числом собственных функций, соответствующих дискретному набору \(\lambda_k\) и задать соотвествующие собственные функции на конечной сетке \(x_i\), которая покрывает весь интервал координат до эффективной бесконечности.