p-орбиталь атома водорода

Электронная плотность вычисляется по формуле \(p(r,\phi,\theta)*dV=|R(r)|^2*|Y(\phi,\theta)|^2*dV\), где расстояние вычисляется в Боровских единицах: \(a_0=\frac{\hbar^2}{me^2}\approx 0,5 \mathring{A}\). Для p- орбитали расположенной вдоль оси Z (n=2, l =1, m=0): \(R(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}}r\cdot e^{-r/2}\), а \(Y(\phi,\theta)= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}cos(\theta)\).

Запишем функцию, которая находит квадрат волновой функции:

def V(x, y, z):
    """ electronic density of p- orbital of hydrogen atom
    """
    r=(x**2+y**2+z**2)**0.5
    theta=np.arccos(z/r)
    phy=np.arccos(x/(r*np.sin(theta)))

    Rr=1./(2*(6**0.5))*np.exp(-r/2)*r
    Yy=((3./4./3.1415)**0.5)*np.cos(theta)
    return Rr**2*Yy**2 

Обратите внимание, что функция векторная, т.е. значения сферических координат вычисляится одновременно для всех точек сетки.

Остается задать прямоугольную сетку и построить значение функции:

[X, Y, Z] = np.mgrid[-10:10:50j, -10:10:50j, -10:10:50j]
mlab.contour3d(X, Y, Z, V)
mlab.show()

Задания

Постройте орбитали

(n=1, l =0, m=0): \(R(r)=2 e^{-r}\), \(Y(\phi,\theta)= \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\).

(n=2, l =0, m=0): \(R(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 1 - \frac{r}{2}\right) e^{-r/2}\), \(Y(\phi,\theta)= \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\).

(n=3, l =0, m=0): \(R(r)=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left( 1 - \frac{2r}{3} + \frac{2r^2}{27}\right) e^{-r/3}\), \(Y(\phi,\theta)= \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\).

(n=2, l =1, m=+-1): \(R(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}}r\cdot e^{-r/2}\), \(Y(\phi,\theta)= \sqrt{\frac{3}{8\pi}}sin(\theta)\frac{e^{i \phi}+e^{-i \phi}}{\sqrt{2}}\).

(n=2, l =1, m=+-1): \(R(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}}r^2\cdot e^{-r/2}\), \(Y(\phi,\theta)= \sqrt{\frac{3}{8\pi}}sin(\theta)\frac{e^{i \phi}-e^{-i \phi}}{i\sqrt{2}}\).

(n=3, l =2, m=0): \(R(r)=\frac{4}{81\sqrt{30}}r\cdot e^{-r/3}\), \(Y(\phi,\theta)= \sqrt{\frac{30}{14\pi}}sin(\theta)cos(\theta)\).

Выполнить описанный пример