Задания по диференциальным уравнениям

  • Решите уравнение Шредингера с потенциалом V(x).

\(\psi''(x)+(E-V(x))\psi(x)=0\), \(V(x) = -20*\frac{1-0,8*cos(0,41*(x-0,01))}{cosh(0,42x)}\) найдите 6 нижних уровней энергии с точностью \(10^{-11}\)

  • Решите уравнение Шредингера с потенциалом V(x).

\(\psi''(x)+(E-V(x))\psi(x)=0\), \(V(x) = (-2,1+0,11x)(tanh(5+x)+tanh(5-x))\) найдите 4 нижних уровней энергии с точностью \(10^{-11}\)

  • Решите радиальное уравнение Шредингера с потенциалом V(r).

\(\psi''(r)+(E-V(r))\psi(r)=0\), \(V(r) = -\frac{1}{r} + \frac{2}{r^2} + \frac{0,001}{r^4}\) найдите 6 нижних уровней энергии с точностью \(10^{-11}\)

  • Циклотронный резонанс

В начале координат покоится электрон. По оси Z направлено однородное магнитное поле B = 0,1 Т. В момент t = 0 включается электрическое поле E = A*sin(2πf t), направленное по оси X; A = 1000 В/м, частота f вводимый параметр.

Задание:

  1. Нарисовать траекторию движения r(t) в плоскости X, Y и график кинетической энергии W(t) электрона за время t = 3,57 нсек.
  2. Построить график кинетической энергии W электрона, которую он набирает за время t = 3,57 нсек, в зависимости от частоты f электрического поля. Частоту f удобно выражать в ГГц, энергию W – в эВ. Интересующий диапазон частот f = [2,5 , 3,1] ГГц. Какую максимальную энергию Wmax набирает электрон? При какой частоте fmax это происходит?
  3. Какую максимальную энергию Wmax электрона (за произвольное время) можно получить при f = 2,52 ГГц? Используя график траектории электрона, объяснить качественно получаемый результат.
  • Фильтр электрического сигнала

Простейший фильтр электрического сигнала показан на рисунке. В качестве элементов обычно выступают сопротивления, конденсаторы или катушки индуктивности. В данном случае индуктивность и сопротивление. На вход подается напряжение, зависящее от времени U(t), а на выходе получается напряжение U1(t).

../../_images/filtr.png

Задание:

  1. Запишите систему уравнений, позволяющую найти напряжение U1(t) при известном U(t). Считайте сопротивление нагрузки равным R.
  2. Приведите полученную систему к стандартному виду.
  3. Решите систему для L=1мГн, C=10мкФ, U(t)=t.
  4. Решите задачу в случае, если U(t) - периодическая функция с периодом 1мс. Форма сигнала - синусоидальный сигнал, прямоугольные импульсы, треугольные импульсы.
  • Фильтр электрического сигнала 2

Решите предыдущую задачу с переставленными L и С элементами.

  • Маятник Капицы

Познакомьтесь с описанием маятника Капицы, данном в разделе Маятник Капицы.

Задание:

  1. Напишите программу, вычисляющую положение маятника в процессе движения.
  2. Визуализируйте движение маятника с одновременным построением траектории на фазовой плоскости.
  3. Задайте частоту внешней силы в 10 раз больже частоты собственных колебаний.
  4. Попробуйте установить амплитуду выдуждающие силы больше \(\sqrt{2gl/ \gamma^2}\).
  5. Что происходит, если маятник запускать из положения близкого к 180 градусам?
  • Упругое соударение
Цилиндр массы M = 1 кг и длиной 5 см висит на длинной пружине жесткости k = 50 Н*м. Через отверстие в верхнем
основании внутрь цилиндра падает тело массы m = 0,5 кг с начальной скоростью v = 3 м/с. Считая, что движение происходит только вдоль вертикальной прямой, ответьте на вопросы.

Задание:

  1. Предложите модель упругого взаимодействия тела и цилиндра с характерным расстоянием ~ 1 мм.
  2. Напишите программу, вычисляющую положение тел в процессе движения.
  3. Проверьте, что сохраняется механическая энергия системы.
  4. Постройте для тела и цилиндра графики зависимости координаты и скорости от времени.
  5. Можно ли подобрать размеры элементов системы, чтобы через некоторое время они двигались как единое целое?
  • Столкновение частиц

Две одинаковые частицы движутся с одинаковыми скоростями издалека навстречу друг другу. Частицы взаимодействуют с парным потенциалом \(\phi(r) = \epsilon \left( (r/r_0)^{-12} - (r/r_0)^{-6} \right)\).

Задание:

  1. Преобразуйте задачу к задаче о движении одной частицы относительно центра масс.
  2. Напишите программу, вычисляющую траекторию движения частицы относительно центра масс. Определите в программе угол рассеяния. Можете воспользоваться информацией раздела Движение пары взаимодействующих частиц.
  3. Найдите зависимость угла рассеяния (с учетом знака) от прицельного параметра для некоторой небольшой начальной скорости. Постройте график. Укажите точки в которых есть особенности.
  4. Вблизи особенности найдите зависимость времени столкновения от скорости частицы.
  5. Определите параметры, чтобы время столкновения было максимально.