Задания по методу Монте-Карло

  • Заполнение пространства (Карпов А.)

Случайно задайте в квадрате 10х10 30 кругов случайного радиуса от 0 до 2. Найдите полощадь не попадающую ни в один круг. Определите среднее значение этой площади в случае произвольного случайного распределения кругов с точностью \(10^{-4}\). Не забудьте проверить генератор случайных чисел.

  • Решить методом Монте-Карло задачу о «разорении игрока» (Чалов Д.)

Предположим, что два человека начинают игру, первый игрок имеет капитал А долларов, а второй - В долларов. После каждого броска игральной кости один из игроков с вероятностью р выигрывает 1 доллар, а другой с вероятностью q = 1 — р проигрывает 1 доллар. Игра продолжается до разорения одного из игроков. Как долго в среднем будет продолжаться игра? Каковы вероятности разорения каждого из игроков?

  • Рассеяние частиц (Абрамова А.)

На плоскую границу полубесконечной среды (вещества) падает из вакуума поток элементарных частиц перпендикулярно поверхности среды. При столкновении с атомом среды частица с вероятностью 0,1 поглощается, а с вероятностью 0,9 рассевается изотропно (т.е. равновероятно в любом направлении трехмерного пространства). Найти долю частич, которые выйдут обратно из вещества. Относительная ошибка расчета менее 0,01.

  • Смоделировать процесс распространения эпидемии (Чупин И.)

Предположим, что в регионе распространения эпидемии проживает N = 1000 человек. Пусть вероятнсть для здорового заразится в течении суток от каждого из больных равна P, заражение от каждого из больных происходит независимо. В случае заражения человек заболевает на следующий день и болеет ровно 1 сутки, после чего выздоравливает. B течении болезни человек не заражается и следовательно не может болеть 2 суток подряд. В первые сутки один человек заболевает, заражаясь от внешнего источника. Показать, что существует критическая вероятность Pc такая, что При P < Pc среднее число больных через много дней равно нулю, a при P > Pc - не равно нулю и резко возрастает с ростом P.

  • Моделирование одномерного случайного блуждания ()

Броуновская частица блуждает по целочисленным узлам \((x_i = i*a, i=0, \pm1,\pm2...)\) бесконечной прямой. На каждом интервале времени \(\tau\) частица смещается с равной вероятностью вправо или влево. В начальный момент t=0 частица находится в точке x=0.

Задание

  1. Построить методом Монте-Карло гистограмму плотности вероятности p(x, t) нахождения частицы в точке x в момент времени t. При построении гистограммы длину интервала разбиения брать равной 2а.
  2. Показать, что при больших n плотность вероятности стремится к предельной функции \(p(x,t)=\frac{1}{4 \pi Dt}exp(\frac{x^2}{4Dt})\), где \(D=\frac{a^2}{2 \tau}\).
  3. Для заданного момента времени вычислить выборочное среднее \(< x^2 >\) и проверить справедливость формулы \(< x^2 >= 2Dt\).
  4. Для заданного расстояния R вычислить выборочно среднее \(<t>\) момента времени, когда частица впервые удаляется на расстояние R от начала координат. Справедлива ли формула \(<t>=\frac{r^2}{2D}\)?
  • Ядерный реактор (Гавриляк А.)

Исследовать условия работы гомогенного (однородного) уран-графитового ядерного реактора в виде квадрата со стороной a. В начальный момент времени в реакторе находится n = 30 нейтронов, случайно распределенных по реактору. Средняя длина свободного пробега нейтрона до взаимодействия с каким-нибудь ядром равна \(\lambda\) = 1.7см.

При взаимодействии с ядром возможно:

  • с вероятностью ps = 0.9632 изотропное рассеяние нейтрона;
  • с вероятностью pa = 0.0152 поглощение нейтрона без деления ядра;
  • с вероятностью pf = 0.0216 поглощение нейтрона с делением ядра урана.

При делении ядра урана в среднем вылетает n = 2.47 нейтрона. Смоделировать работу реактора на основе метода Монте-Карло. Считать, что нейтроны живут в реакторе поколениями, и число поколений пропорционально времени, а нейтроны до взаимодействия с каким-нибудь ядром пробегают одинаковое расстояние \(\lambda\). Также считать, что, если число нейтронов превышает 500, то реактор взрывается; если же число нейтронов становится равным 0, то реактор гаснет. Стенки реактора без отражающих свойств.

1.Построить график зависимости количества нейтронов в реакторе от времени при заданном размере реактора \(a\).

2.Оценить критический размер реактора \(a_{cr}\).

3.Рассмотреть такой же реактор, но с формой в виде круга радиусом \(a/2\). Оценить для него критический размер и сравнить с критическим размером для квадратного реактора.

  • Моделирование процесса переноса излучения (Белов К.)

Длина свободного пробега нейтрона в однородном веществе распределена по закону \(\frac{1}{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}\), в котором параметр А (средняя длина свободного пробега) предполагается известным. Пусть вещество заполняет слой 0<х<Н, на граничную плоскость х=0 перпендикулярно падает поток нейтронов. В конце пробега происходит столкновение, в результате которого частица может поглотиться с вероятностью 1—q; в противном случае она двигается дальше. Будем пренебрегать изменением направления движения нейтрона (случай сильно анизотропного рассеяния). Рассчитать методом Монте-Карло отношение потока нейтронов, выходящих из слоя (при х=Н) к падающему потоку (при х=0). Расчет произвести для следующих параметров: \(\lambda=0.3\), Н=1, q=0.6.

  • Моделирование цепных ядерных реакций

Рассмотрим шар радиуса R, изготовленный из расщепляющегося материала (U235, Pu239 и т.д.). Пусть в шаре в результате самопроизвольного распада появляется свободный нейтрон, который может либо вылететь из шара, либо столкнуться с ядром. В последнем случае он либо поглощается, либо рассеивается, либо расщепляет ядро, в результате чего появляется несколько вторичных нейтронов. Вторичные нейтроны точно так же могут породить новые нейтроны, которые мы назовем нейтронами 3-го поколения, и т.д. Процесс может прерваться или продолжаться бесконечно. Рассмотрим следующую модель цепной реакции. Длина свободного пробега нейтронов является случайной величиной, распределенной по закону (4.6). Направления вылета вторичных нейтронов распределены изотропно. Число вторичных нейтронов в результате взаимодействия нейтрона с ядром распределено по закону:

n 0 1 2 3 4 >4
p 0.025 0.83 0.07 0.05 0.025 0

Случай n = 0 в этой таблице соответствует поглощению нейтрона без расщепления ядра, случай n = 1 - рассеянию нейтрона без расщепления ядра либо поглощению нейтрона с расщеплением ядра и вылетом одного вторичного нейтрона, наконец, в случаях n > 1 обязательно происходит расщепление ядра. В рамках данной модели мы можем исследовать вопросы, связанные с числом нейтронов в различных поколениях. Исследование зависимости числа нейтронов от реального физического времени потребовало бы дополнения модели и значительно усложнило бы нашу задачу.

Задание

  1. Вычислить вероятность бесконечного продолжения процесса для \(R \in [2\lambda, 10\lambda]\) в случае, когда первичный нейтрон появляется в центре шара.
  2. Для различных R вычислить средний коэффициент размно жения нейтронов \(к = N_{i+i}/N_i\), где \(N_i\) - общее число нейтронов i-го поколения. Для инициализации цепной реакции задать достаточно большое число первичных нейтронов, распределенных в объеме шара случайным образом по равномерному закону. Определить критический радиус шара \(R_c\), для которого к = 1.